拓扑体态、丰腴输运

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岸上霓虹顾影重

都信拓扑停水面

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1.引子

基督《圣经》新约有一个章节“马太福音”，其中提到一个著名的社会学效应，称之为“马太效应(Matthew Effect)”。这一效应的本义指强者愈强、弱者愈弱，广泛应用于经济、教育、金融及科技领域。这一概念慢慢演化，如今也可以描述一种从众效应：某种小尺度特征一旦成型，会自发引导大众趋之若鹜。这在科学研究上的表现即：一个新的领域一旦出现，整个学科的绝大多数个体与研究机构在并没完全分清楚青红皂白的前提下就一哄而上，将这一领域中那些未被开垦的问题、效应、理论及可能的应用快速地掳掠一遍。我们可以将这个效应用另外一个物理效应来做比对，即蝴蝶效应(Butterfly effect)，如图1所示。

图1. 物理学中的蝴蝶效应，让一个新领域的发展呈现摧古拉朽式的爆发。

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现代科学研究造就了国际上不少基础雄厚、软硬件齐备、发动响应迅速的高水平研究团队。他们常常是万事俱备、只欠东风，一旦一个新的领域雄鸡初唱，即蜂拥而上、摧古拉朽，一时间百花齐放。这种马太效应无疑是推动科学技术发展的一种新模式，而库恩先生的所谓科学研究“范式”演进难道已经过时了？

这种马太效应值得推敲的一个后果是：于此摧古拉朽式研究浪潮之后，这一领域的若干节点和难点科学问题依然如故，静静地躺在那里，等待着有缘人前来处置。从另一个角度说，这种浪潮研究是高效的、争分夺秒的，但构建的基础未必夯实，常常是一个多孔的庞大架构耸立起来。

我们以凝聚态中的拓扑量子现象为例。自拓扑绝缘体概念和理论提出至今，这一领域的发展用爆炸式来描述毫不为过。主流刊物中拓扑物理的研究成果占据半壁江山，相关学术会议经常是万人空巷、一席难求，对应的研究资助也是几家欢乐几家愁，拓扑之家门庭若市、其他门前无人问津的情况是常态。

引领领域前沿创新当然是功德之事。在我国科研无一不创新、无一不前沿的态势下，走在前沿和追逐前沿非常重要。不过，也还是有很多人，他们能够针对那些节点和难点问题安静地做一些工作。这些人的眼光和这些工作的意义更是难能可贵，也值得褒奖和宣扬。

好吧，这里针对拓扑绝缘体物理中一个很小很平凡的问题，呈现一个实例。

2.体态尚未丰腴

众所周知，拓扑绝缘体(topologicalinsulator, TI)作为最著名的拓扑体系，从预言到材料实现，至今也有十几年研究历史[1]。物理人特别关注TI中受到拓扑保护的表面态，因为这一表面态有着据说很卓越的物理性质，可能演绎出新一代电子器件。拓扑绝缘体最重要的性质就是体态—表面态的对应关系。简单地说，体态是绝缘态，但是这种绝缘态与一般拓扑平庸的绝缘体有着完全不同的能带结构，称之为拓扑非平庸能带。这种体态的非平庸拓扑性质才是表面态受到拓扑保护的真正根源。对这一物理图像，不久前曾有一篇还不错的初级科普文章作了清晰而详细的描述，请点击“抽丝剥茧是为真  一片匠心落子辰 | Ising专栏”一文，一探究竟。

要判定一种绝缘体是不是拓扑绝缘体，最直接的验证手段即是通过谱学测量去表征拓扑材料的表面态，以确认材料的拓扑性。现在国内外有不少高中档角分辨光电子谱仪(ARPES) 和高度武装的扫描隧穿显微术STM 等昂贵科学装置，可以容易且直观地揭示受保护的拓扑表面态能带特征。

除此之外，能够玩弄表面态于股掌之中的技术并不多。例如，针对拓扑表面态，直接的输运测量就显得犹抱琵琶半遮面。众人都借助于测量量子霍尔效应来“间接”展示拓扑表面态的本征性质。这没有问题，但物理学不就是要利用拓扑表面态的奇异输运性质和拓扑保护性么？那么直接测量表面态的输运行为来表征一种材料是不是TI，应该会更好。比如，能不能直通通地从最简单的输运来展示TI？如量子振荡啥的！

看起来，这方面的问题能够难倒了很多人。

好吧，直接测量表面态的确是个困难活。首先，您需要弄出一个真正的表面：既不能污染、也不能氧化，所以您需要真空，对吧？这让做应用和产业化的人有些头疼。其次，您需要知道多厚一层才算表面，对吧？近邻效应有多大、表面能承载多大电流？如此等等。

不过，明眼人一眼即可看出这里遗留了一个难点问题：与其通过云里雾里的表面态来推测TI的体态，还不如去直接探测体态拓扑结构本身。您说TI的体态是拓扑非平庸的，您有什么直接证据？

事实上，到目前为止，鲜有直接探测体态拓扑性质的实验和相关理论。所以我们说，体态尚未丰腴。

3.磁场好个秋

那该如何呢？当大多数拓扑物理人“取次花丛懒回顾”时，也有一些人在“我心修道相与君”的。他们在嘀咕这个节点问题。

凝聚态人一直将磁场作为研究物理的工具，对量子材料，磁场的作用更是丰腴。固体物理说：电子在磁场中受到洛伦兹力作用做回旋运动，在强磁场下发生朗道量子化。例如，二维电子气在强磁场下的电导量子化会导致量子霍尔效应[2, 3]。这些现象之背后的物理图像清晰简明，易于理解。

图2. (a) 无磁场时拓扑绝缘体的导带和价带的示意图。(b) 在强磁场下，拓扑绝缘体的能谱变成离散的朗道能带。费米能 EF 只切过最低的朗道能带 (0+ 或0- )时称为量子极限。这时电阻完全由费米能量上的两个态 kF 和 -kF 的背散射决定。拓扑绝缘体的拓扑性质导致背散射在特定磁场处被完全禁止，从而压制电阻 (见图3)。(c) 最新实验 [6] 观察到拓扑绝缘体电阻被压制而出现极小值 (红色线)，一般绝缘体没有这个极小值 (蓝色线)。(d) 理论 [7] 和实验 [6] 的比较。sos表示自旋轨道耦合杂质散射。

如果是三维体系，问题就会变得复杂一些。我们知道，沿着磁场方向输运的载流子承受的洛伦兹力为零，因此沿该方向的动量不受磁场影响，依然保持好量子数。在这个意义上，电子能谱沿磁场方向的动量色散依然呈现分立的朗道能带[图 2 (a) 和 (b)]。随磁场不断增强，这些朗道能带的简并度越来越大，费米能逐渐下降，费米面上的朗道能带数量也逐渐减少。在这个过程中，对应于离散的朗道能级穿越费米面，我们测量到的输运电阻就会随磁场起伏振荡。这个现象被称为量子振荡，久负盛名，是能带理论的一个必然结果。

当然，量子振荡的确可以给出材料的一些能谱和拓扑信息[4, 5]，是物理界研究比较仔细的方向，产生了丰硕成果。量子振荡的物理也很清楚，得到广泛认同，是教科书知识。既然如此，我们考虑一种极限情况：当外加磁场变得很强时，电子最终都会落在最低的朗道能级上，此为所谓的量子极限态，如图 2 (b) 所示。到了这个量子极限态，就不会再有量子振荡了，因为已经没有更多的朗道能级再切过费米面。

不过，最近在《Physical Review Letters》上报道了一个新实验 [6]，实验结果非常直观：在量子极限下，一类拓扑绝缘体PbSeSn 的电阻随磁场变化出现了一个极小值(看起来就一个极小值，而后续的机理分析还会指出不止一个极小值)，如图2(c)中红线所示。这看起来像发生了量子振荡，而我们知道量子极限下是不存在量子振荡的。

这一矛盾是泛泛拓扑绝缘体实验研究中的一点浪花而已，并无什么非常特别之处。实验嘛，有很多不可控因素，即便实验者再仔细设计、再精细规整，总是有可期与不可期的原因卷入其中，实验结果与理论不吻合并不奇怪。

只是，这一矛盾产生的裂痕一直未见得很好弥合，让我们可以很感性地感叹一声：磁场好个秋！

4.拓扑秋实

那么，这一实验到底是未知所致还是某种本征效应？其实我们可以从中找到一些端倪。事实上，进入量子极限区域后，电子全部占据在最低朗道能带上。当我们处理沿磁场方向的纵向电阻时，就只需要考虑费米面上最低的朗道能带。这时候体系等价于一类一维系统，其电阻完全由杂质造成的背散射所致。由此，考虑背散射过程强弱，即可给出电阻随磁场变化的行为。

在量子力学中，电子波矢由k_F变为-k_F的散射过程，刻画了电子从一个态被杂质散射到另一个态之间的过程。计算这个过程就是去计算这两个态在该势场下的矩阵元。计算结果显示，最低朗道能带上的背散射行为竟然与体系的拓扑性质相关。如果一个体系是拓扑绝缘体，则在特定磁场大小下，沿磁场方向会出现背散射被完全禁止的情况。而其它磁场大小下，不存在这种完全禁止的效应。

好，注意这里几个关键词：(1) 背散射被禁止，即电阻极小值。(2) 背散射与拓扑能带相关。(3) 拓扑非平庸的能带才会在量子极限下呈现背散射禁止。(4) 一般绝缘体没有背散射被禁止的性质，如图 3 所示。

图3. 电阻相图。其中粉色相图针对强拓扑绝缘体，黄色针对弱拓扑绝缘体，青色针对一般绝缘体。拓扑绝缘体的电阻量子极限会出现极小值，强拓扑绝缘体甚至会多达两个。一般绝缘体没有电阻极小值。

这一全新的计算结果，其背后的物理源于体态电子的拓扑性质。在量子极限时，这一拓扑性质对应于费米面上两个态的本征波函数在自旋空间正交。这不是一个简单的能谱行为，以前没有被注意到。因此，实验工作[6] 的作者们不得不使用一个并不适用于拓扑绝缘体的理论来解释实验结果。他们使用的是拓扑半金属的理论 [8, 9]，而拓扑半金属的最低朗道能带上电子态波函数不具有自旋空间的分量。也就是说，在拓扑半金属中并不会出现背散射禁止这样的物理。除此之外，通过考虑自旋轨道耦合散射(sos)，理论计算能够与实验结果符合得很好[7]，如图 3 (c) 和 (d) 所示。

其实，由这一基于拓扑绝缘体杂质背散射的理论 [7]，可以发展出一种新的识别拓扑绝缘体的方法：给体系施加一个强磁场，测量沿着磁场方向的纵向电阻，则那些在量子极限下出现电阻极小的体系很有可能就是拓扑绝缘体。这看起来很像是一个重要预言。特别是，这一方法对确认一些窄带隙体系会比较有用，如 Ag₂Se 族和ZrTe₅ 族体系[10-12]。关于这些体系拓扑性质的争论已经持续多年，这一新理论与方法应该提供了一个简单、别致、且具有明确指针的工具，以帮助确认其拓扑性质。

行文至此，我们看到，拓扑绝缘体的拓扑体态在这里结出了果实：在达到量子极限的磁场区域，一个拓扑绝缘体沿磁场方向的纵向电阻会出现一个或两个极小值点。反过来说，测量到这一极小值点，就可判定体系是不是拓扑绝缘体！

这样的测量只是简单的输运测量，比借助ARPES 或STM 测量表面态要容易、简便和快速得多！

当然，从逻辑上看，沿磁场方向电阻极小未必就一定是拓扑绝缘体杂质背散射的结果。我们不能排除有其它根源。但这一工作可能是针对拓扑绝缘体非平庸拓扑体态这一难点问题迈出的一小步，其给出的MR 非单调变化特征其实在很多体系中见到。就非平庸拓扑意义上，这些体系孰是孰非，值得去探究的。

这一新的理论刊登于最近一期Physical Review Letters上(Phys.Rev. Lett. 121, 036602 (2018))，题目为“Forbidden backscattering and resistance dip in thequantum limit as a signature for topological insulators” [7]。文章第一作者是南方科技大学物理系本科生陈毅远、通讯作者为同一单位的卢海舟副教授；北京大学谢心澄教授参与这一工作。海舟老师算得上是帅哥一枚，其气质看起来文静而内敛。这不是他们第一次合作，他们针对的问题有很多都是诸如此类的遗留节点问题。当然，谢老师也是老帅哥一枚，常有一些异想天开的想法，让问题变得简单与直接。

还是老一套，看君如果有进一步了解的意愿，可点击文尾的“阅读原文”浏览一二。

备注：

(1) 封面来自 http://www.fkf.mpg.de/572929/02Artistic view of the Dirac cones from the top and bottom surfaces of a topological insulator.  

(2) 题头诗乃Ising所加。首两句表达了春江两岸繁华与水面镜像对称之美；后两句说众人都知道拓扑在表面处留下踪迹(表面态)，却不知其根源在于水面深处的拓扑非平庸形态与深处未见的世界。

(3) 本文刊出后，收到北京大学王健老师的comment：拓扑绝缘体体态特性的实验研究最早可以追溯到我们在2014的文章： Huichao Wang, Haiwen Liu, Cui-Zu Chang, Huakun Zuo, Yanfei Zhao, Yi Sun, Zhengcai Xia, Ke He*, Xucun Ma, X. C. Xie, Qi-Kun Xue and Jian Wang*. "Crossover between Weak Antilocalization and Weak Localization of Bulk States in Ultrathin Bi₂Se₃ Films" Scientific Reports 4,5817 (2014)

参考文献

1. S. -Q. Shen, Topological insulators (2nd ed., Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2017).

2. K. von Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, New method for high-accuracy determination of the fine-structure constant based on quantized Hall resistance, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980).

3. D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale, and M. den Nijs, Quantized Hall conductance in a two-dimensional periodic potential, Phys. Rev. Lett. 49, 405 (1982).
4. C. M. Wang, H. Z. Lu, and S. Q. Shen, Anomalous phase shift of quantum oscillations in three-dimensional topological semimetals, Phys. Rev. Lett. 117, 077201 (2016).
5. C. Li, C. M. Wang, B. Wan, X. G. Wan, H. Z. Lu, and X. C. Xie, Rules for phase shifts of quantum oscillations in topological nodal-line semimetals, Phys. Rev. Lett. 120, 146602 (2018).
6. B. A. Assaf et al., Negative longitudinal magnetoresistance from the anomalous N=0 Landau level in topological materials, Phys. Rev. Lett. 119, 106602 (2017).
7. Y. Chen, H. Z. Lu, and X. C. Xie, Forbidden backscattering and resistance dip in the quantum limit as a signature for topological insulators, Phys. Rev. Lett. 121, 036602 (2018).
8. H. Z. Lu, S. B. Zhang, and S. Q. Shen, High-field magnetoconductivity of topological semimetals with short-range potential, Phys. Rev. B 92, 045203 (2015).
9. P. Goswami, J. H. Pixley, and S. Das Sarma, Axial anomaly and longitudinal magnetoresistance of a generic three-dimensional metal, Phys. Rev. B 92, 075205 (2015).
10. W. Zhang, R. Yu, W. Feng, Y. Yao, H. Weng, X. Dai, and Z. Fang, Topological aspect and quantum magnetoresistance of β-Ag2Te, Phys. Rev. Lett. 106,156808 (2011).
11. H. Weng, X. Dai, and Z. Fang, Transition-metal pentatelluride ZrTe5 and HfTe5: A paradigm for large gap quantum spin Hall insulators, Phys. Rev. X 4, 011002 (2014).
12. Y. Liu et al., Zeeman splitting and dynamical mass generation in Dirac semimetal ZrTe5, Nat. Commun. 7, 12516 (2016).

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